Nhập bài toán...
Đại số tuyến tính Ví dụ
[1111][1111]
Bước 1
Bước 1.1
Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng p(λ)p(λ).
p(λ)=định thức(A-λI2)
Bước 1.2
Ma trận đơn vị cỡ 2 là ma trận vuông 2×2 có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.
[1001]
Bước 1.3
Thay các giá trị đã biết vào p(λ)=định thức(A-λI2).
Bước 1.3.1
Thay [1111] bằng A.
p(λ)=định thức([1111]-λI2)
Bước 1.3.2
Thay [1001] bằng I2.
p(λ)=định thức([1111]-λ[1001])
p(λ)=định thức([1111]-λ[1001])
Bước 1.4
Rút gọn.
Bước 1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.4.1.1
Nhân -λ với mỗi phần tử của ma trận.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.4.1.2.1
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.2
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.2.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.2.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([1111]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.3
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.3.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00λ-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.3.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.4
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00-λ])
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00-λ])
p(λ)=định thức([1111]+[-λ00-λ])
Bước 1.4.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
p(λ)=định thức[1-λ1+01+01-λ]
Bước 1.4.3
Simplify each element.
Bước 1.4.3.1
Cộng 1 và 0.
p(λ)=định thức[1-λ11+01-λ]
Bước 1.4.3.2
Cộng 1 và 0.
p(λ)=định thức[1-λ111-λ]
p(λ)=định thức[1-λ111-λ]
p(λ)=định thức[1-λ111-λ]
Bước 1.5
Find the determinant.
Bước 1.5.1
Có thể tìm được định thức của một 2×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)(1-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2
Rút gọn định thức.
Bước 1.5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.2.1.1
Khai triển (1-λ)(1-λ) bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Bước 1.5.2.1.1.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=1(1-λ)-λ(1-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ(1-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Bước 1.5.2.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.2.1.2.1.1
Nhân 1 với 1.
p(λ)=1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.2
Nhân -λ với 1.
p(λ)=1-λ-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.3
Nhân -1 với 1.
p(λ)=1-λ-λ-λ(-λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ⋅λ-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.5
Nhân λ với λ bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.5.2.1.2.1.5.1
Di chuyển λ.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1(λ⋅λ)-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.5.2
Nhân λ với λ.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2-1⋅1
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.6
Nhân -1 với -1.
p(λ)=1-λ-λ+1λ2-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.1.7
Nhân λ2 với 1.
p(λ)=1-λ-λ+λ2-1⋅1
p(λ)=1-λ-λ+λ2-1⋅1
Bước 1.5.2.1.2.2
Trừ λ khỏi -λ.
p(λ)=1-2λ+λ2-1⋅1
p(λ)=1-2λ+λ2-1⋅1
Bước 1.5.2.1.3
Nhân -1 với 1.
p(λ)=1-2λ+λ2-1
p(λ)=1-2λ+λ2-1
Bước 1.5.2.2
Kết hợp các số hạng đối nhau trong 1-2λ+λ2-1.
Bước 1.5.2.2.1
Trừ 1 khỏi 1.
p(λ)=-2λ+λ2+0
Bước 1.5.2.2.2
Cộng -2λ+λ2 và 0.
p(λ)=-2λ+λ2
p(λ)=-2λ+λ2
Bước 1.5.2.3
Sắp xếp lại -2λ và λ2.
p(λ)=λ2-2λ
p(λ)=λ2-2λ
p(λ)=λ2-2λ
Bước 1.6
Đặt đa thức đặc trưng bằng 0 để tìm các trị riêng λ.
λ2-2λ=0
Bước 1.7
Giải tìm λ.
Bước 1.7.1
Đưa λ ra ngoài λ2-2λ.
Bước 1.7.1.1
Đưa λ ra ngoài λ2.
λ⋅λ-2λ=0
Bước 1.7.1.2
Đưa λ ra ngoài -2λ.
λ⋅λ+λ⋅-2=0
Bước 1.7.1.3
Đưa λ ra ngoài λ⋅λ+λ⋅-2.
λ(λ-2)=0
λ(λ-2)=0
Bước 1.7.2
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng 0, toàn bộ biểu thức sẽ bằng 0.
λ=0
λ-2=0
Bước 1.7.3
Đặt λ bằng với 0.
λ=0
Bước 1.7.4
Đặt λ-2 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.7.4.1
Đặt λ-2 bằng với 0.
λ-2=0
Bước 1.7.4.2
Cộng 2 cho cả hai vế của phương trình.
λ=2
λ=2
Bước 1.7.5
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho λ(λ-2)=0 đúng.
λ=0,2
λ=0,2
λ=0,2
Bước 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
Bước 3
Bước 3.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([1111]+0[1001])
Bước 3.2
Rút gọn.
Bước 3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 3.2.1.1
Nhân 0 với mỗi phần tử của ma trận.
[1111]+[0⋅10⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 3.2.1.2.1
Nhân 0 với 1.
[1111]+[00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.2
Nhân 0 với 0.
[1111]+[000⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.3
Nhân 0 với 0.
[1111]+[0000⋅1]
Bước 3.2.1.2.4
Nhân 0 với 1.
[1111]+[0000]
[1111]+[0000]
[1111]+[0000]
Bước 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Bước 3.2.2.1
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[1+01+01+01+0]
Bước 3.2.2.2
Simplify each element.
Bước 3.2.2.2.1
Cộng 1 và 0.
[11+01+01+0]
Bước 3.2.2.2.2
Cộng 1 và 0.
[111+01+0]
Bước 3.2.2.2.3
Cộng 1 và 0.
[1111+0]
Bước 3.2.2.2.4
Cộng 1 và 0.
[1111]
[1111]
[1111]
[1111]
Bước 3.3
Find the null space when λ=0.
Bước 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[110110]
Bước 3.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 3.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Bước 3.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1101-11-10-0]
Bước 3.3.2.1.2
Rút gọn R2.
[110000]
[110000]
[110000]
Bước 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
Bước 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-yy]
Bước 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-11]
Bước 3.3.6
Write as a solution set.
{y[-11]|y∈R}
Bước 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-11]}
{[-11]}
{[-11]}
Bước 4
Bước 4.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([1111]-2[1001])
Bước 4.2
Rút gọn.
Bước 4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 4.2.1.1
Nhân -2 với mỗi phần tử của ma trận.
[1111]+[-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
Bước 4.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 4.2.1.2.1
Nhân -2 với 1.
[1111]+[-2-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
Bước 4.2.1.2.2
Nhân -2 với 0.
[1111]+[-20-2⋅0-2⋅1]
Bước 4.2.1.2.3
Nhân -2 với 0.
[1111]+[-200-2⋅1]
Bước 4.2.1.2.4
Nhân -2 với 1.
[1111]+[-200-2]
[1111]+[-200-2]
[1111]+[-200-2]
Bước 4.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[1-21+01+01-2]
Bước 4.2.3
Simplify each element.
Bước 4.2.3.1
Trừ 2 khỏi 1.
[-11+01+01-2]
Bước 4.2.3.2
Cộng 1 và 0.
[-111+01-2]
Bước 4.2.3.3
Cộng 1 và 0.
[-1111-2]
Bước 4.2.3.4
Trừ 2 khỏi 1.
[-111-1]
[-111-1]
[-111-1]
Bước 4.3
Find the null space when λ=2.
Bước 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-1101-10]
Bước 4.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
Bước 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-1⋅1-01-10]
Bước 4.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[1-101-10]
[1-101-10]
Bước 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Bước 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-101-1-1+10-0]
Bước 4.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
Bước 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
Bước 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
Bước 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
Bước 4.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
Bước 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
Bước 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[-11],[11]}